南宋本《九章算术》。
■郭书春
中国古代数学家刘徽越来越受到国内外科学界的重视和推崇。
2021年5月24日，国际天文学联合会批准中国提议在嫦娥五号降落地点附近的8个月球地貌的命名申请，其中包括刘徽（LIU HUI）。
2023年11月，第四十二届联合国教科文组织大会审议通过了中国科学技术协会推荐的在2024—2025年举行纪念刘徽的活动，这是中国首次在联合国教科文组织成功申办以科学家为主题的纪念活动。2024年、2025年和今年，相继在法国巴黎联合国教科文总部、中国北京和滨州、韩国首尔、阿塞拜疆巴库、意大利罗马等地举行了纪念刘徽的展览和学术研讨会。
2024年9月2日，国际小行星命名委员会将中国科学院紫金山天文台发现的国际编号为361712号的小行星正式命名为“刘徽星”。
已故数学家、中国科学院院士吴文俊曾指出，“从对数学贡献的角度衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论。”这是恰如其分的评价。
刘徽与魏晋辩难之风
刘徽生平不详。我推测刘徽是嵇康、王弼的同龄人或者更小一点，也就是生于公元3世纪20年代后期或之后。此外，根据我国数学史家严敦杰先生发现的刘徽在《宋史》“算学祀典”中被封为“淄乡男”，结合有关史料，考订刘徽是淄乡人，在今山东省滨州市的邹平市。
东汉末年起，中国的经济、政治和社会思潮发生了重大变革，自给自足的庄园经济进一步发展，到魏晋已成为主要的经济形态。与此相适应的是门阀世族制度占据了政治舞台的中心。儒学在思想界的统治地位发生动摇，繁琐的两汉经学退出了历史舞台。思想界面临着一次大解放。他们用作谈资的《老子》《庄子》和《周易》被称为“三玄”，后人将他们的学问称为“玄学”。玄学家们经常在一起辩论一些命题，互相诘难，称为“辩难之风”。玄学已经取代了儒家的正统思想地位，成为社会的主要思潮。公元249年后，嵇康、阮籍等“竹林七贤”任性不羁，蔑视礼法，主张“越名教而任自然”，宣称“非汤武而薄周孔”，学术界的思想进一步解放。
玄学是研究自然与人的本性的学问，主张顺应自然的本性。探讨思维规律，成为学者们的一项重要任务，这就是“析理”。“析理”最先见之于《庄子·天下》，但在此后很长一段时间内并没有方法论的意义。而在魏晋时代，它却成为辩难之风的要件，“析理”是名士们进行辩论的主要方法。嵇康说：“非夫至精者，不能与之析理。”刘徽注《九章算术》的宗旨是“解体用图，析理以辞”。玄学名士和刘徽“析理”时都遵循“易简”的规范。
数学由于严密、艰深，经常成为玄学家析理的楷模。数学的发展受到魏晋玄学的深刻影响。刘徽对数学概念进行定义时，追求概念的明晰。他对《九章算术》的命题进行证明或驳正时，追求推理的正确、证明的严谨等，这与思想界的析理是一致的，格调是合拍的。刘徽的许多用语、句法甚至都与这些思想家相近，据此可以推测刘徽的年龄。有的画家将注《九章算术》时的刘徽画成一个耄耋老人，是与历史事实不符的。
为《九章算术》作注
使刘徽名垂青史的是他于三国魏景元四年（263年）完成的《九章算术注》。《九章算术》是中国和东方古代最重要的数学经典，是在先秦“九数”基础上发展起来的，而在秦朝焚书坑儒和秦末战乱中散坏。西汉数学家、政治家张苍（？-前152）和耿寿昌（公元前1世纪）先后“因旧文之遗残，各称删补”，形成了刘徽读到的《九章算术》。
《九章算术》凡方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九卷。其现存版本含有近百条抽象的公式、解法和246个例题。其中分数四则运算法则、比例算法、盈不足算法、开方法、线性方程组解法和列线性方程组的方法、正负数加减法则及解勾股形、勾股数组通解公式等都是领先世界数百年甚至千余年的辉煌成就。它奠定了中国古典数学的基本框架且长于计算，以算法为中心，以及数学理论密切联系实际的风格。南宋本《九章算术》是世界上现存最早的印刷本数学典籍。
当然，《九章算术》也有不容忽视的缺点。首先是分类标准不一，如方田、粟米、商功、均输等章是按应用的分类，而衰分、少广、盈不足、方程、勾股等章是按方法的分类。其次是有的内容文不对题，如若干非衰分类问题被编入衰分章，若干非均输类问题被编入均输章。再次，对数学概念都没有定义。最后，对数学公式、解法都没有留下推导和证明。
因此，为《九章算术》作注成为中国古典数学著述的重要形式。现存最早、最重要而且影响最大的就是刘徽注。刘徽注原为10卷，其第10卷“重差”为刘徽自撰自注，南北朝时期单行，改称《海岛算经》。刘徽还著有《九章重差图》，已亡佚。
刘徽自述“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。这表明，《九章算术注》包括两种内容，一是他“探赜之暇，遂悟其意”者，亦即自己的数学创造；二是“采其所见”者，即他搜集到的前代和同代人研究《九章算术》的成果。比如齐同术，出入相补的初级做法图验法、棋验法，周三径一，等等。
多个首创
刘徽修正了《九章算术》的若干错误和不精确之处，提出了许多新的公式和解法，大大改善并丰富了《九章算术》的内容。刘徽给出了若干明确的数学定义，以演绎逻辑为主要方法全面论证了《九章算术》的算法，在世界上首次提出“数学之树”的思想，认为数学像一株枝繁叶茂、条分缕析而具有同一本干的大树，标志着中国古典数学理论体系的完成。
不止于此，刘徽的创新还体现在数学方法、数学证明和数学理论方面。
刘徽发展了《九章算术》的率概念和齐同原理，将其拓展到大部分术文和200多个题目。他指出今有术是“都术”，率和齐同原理是“算之纲纪”，借助率将中国古代数学的算法提高到理论的高度。
刘徽继承发展了传统的出入相补原理。
刘徽发展了重差术，完善了重表、连索、累矩三种基本方法。中国测望技术在明末西方测望方法传入之前，再无大的进展。我认为，《海岛算经》望海岛问的原型是测望泰山。
刘徽在世界数学史上第一次将极限思想和无穷小分割方法引入数学证明，严格证明了《九章算术》提出的圆面积公式和他提出的刘徽原理。其深度超过了古希腊的同类思想，接近了微积分学的大门。其刘徽原理触及了指导20世纪世界数学发展的希尔伯特23个问题的第三问。
刘徽明确认识了截面积原理，设计了牟合方盖，为后来的祖暅之开辟了彻底解决球体积问题的正确途径。
刘徽将极限思想应用于近似计算，在中国首创求圆周率的科学程序以及开方不尽求其“微数”的方法，求出157/50，即相当于3.14，以及3927/1250，即相当于3.1416，两个圆周率值。他奠定了中国的圆周率近似值计算领先世界约千年的基础，后来祖冲之使用刘徽的方法将圆周率值精确到8位有效数字。
（作者系中国科学院自然科学史研究所研究员）
