01
1979年，J.Cox、S.Ross和M.Rubinstein三人发表《期权定价：一种被简化的方法》一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二叉树定价模型（BinomialModel）”，也是学界和业界进行期权数值定价的一种重要方法。
二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。
同时，它应用相当广泛，可用于欧式期权、美式期权，甚至许多奇异期权的数值定价。目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。
02
现在，让我们进入一个假想的场景。
假设有一只股票目前为50元，一年后股价只有两种可能：上涨到100元，或下跌至25元,市场无风险利率为25％。
那么在市场无套利机会假设前提下，行权价为50元、合约单位100一年后到期的欧式认购期权现在到底值多少钱呢？
试想一下，如果我们构造如下投资组合：
卖出开仓3张认购期权（合约单位100），期权价格为未知数C；
买入200股股票；
以无风险利率25%借入4000元的现金。
那么在不计任何保证金和交易成本的情况下，一年后你的盈亏会变成怎样呢？
我们可知，初始时刻卖出3张认购期权，意味着收入300C；买入200股股票意味着支出10000元；再加上借入了4000元，所以初始时刻的净收入/支出=300C-6000。
接着，我们把眼光转到到期时刻，发现到期时股价无非出现两种情形：
一种是当股价为100元时，此时期权头寸将亏损15000元（（50-100）*100*3），股票头寸的市值变成了20000元，但别忘了，你还欠着银行的资金，基于25%的借入利率，到期需要偿还5000元的资金，因此三个头寸累加后，你会发现到期时刻的总收入为0；
另一种情况是当股价为25元时，此时期权头寸的对手方到期不会行权，因此到期时刻盈亏为0，而股票头寸的市值已变成5000，再加上需要向银行归还5000元的资金，因此三个头寸累加后，到期时刻的总收入仍然为0。
具体的盈亏分析可见表1：
从上面的分析和表1中你会发现，一年后不论股价是100元，还是25元，你在到期时刻的盈亏都是0。
由于我们假设股价只会出现这两种情况，因此我们在到期日的盈亏必然是0。
03
那么，现在我们试想：
假如开仓时的盈亏300C-6000>0，这说明该组合是一个100%赚钱的组合；
假如开仓时的盈亏300C-6000<0，这说明该组合是一个100%亏钱的组合，那么你的对手方是一个100%赚钱的组合。
所谓无套利机会，就是指市场不存在100%概率赚钱的机会，因此300C-6000只能等于0，从而得到C=20。
至此，我们实际上已经通过一个简单的例子，在市场无套利假设下计算出了一份特殊的认购期权的价格。
