年终别去赌：你永远赢不了“凯利公式”

赌徒迷信的是运气，赌场相信的是数学。

引

2021年，又到年终，再提示一下：别去赌，你不是赌王。

赌王何鸿燊接手葡京赌场时，生意蒸蒸日上，但理性的赌王仍然忐忑，请教“赌圣”叶汉：

“如果这些赌客总是输，长此以往，他们不来了怎么办？”

叶汉笑道：

“一次赌徒，一世赌徒，他们担心的是赌场不在怎么办。”

叶汉说的只是心理层面，现代赌场程序方面的设计比叶汉当年要缜密得多，赌场集中了概率学、统计学的数学知识。一个普通赌徒，只要长久赌下去，最终一定会血本无归。所谓的各种致胜绝技，除了《赌圣》电影里的周星星，现实世界里的周星驰都不信。

一个痴迷于发财梦的赌徒永远不明白，与自己对赌的不是运气，也不是庄家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、纳什、凯利这样的数学大师，赢的概率能有多大？

01

看得到的是概率

看不见的是陷阱

先说一个最简单的赌博游戏：抛硬币。

规则是这样的，正面赢反面输，如果你赢了可以拿走和本金一样多的奖金，如果输了则会赔掉本金。

你一听可能觉得这游戏还不错，公平！

于是你拿出了身上的100元来玩这个游戏，每次下注5元，这样你至少有20次的下注机会。

不过，你运气不太好，第一把就是反面，输了5块钱。

生性乐观的你觉得没什么，反正不管怎么说，赢面都有50%，下一把就可以赢回来。

结果，很快你就把身上的钱都输光了。

你百思不得其解，明明是公平的50%赢面，在50%概率下至少不会亏本的，可为什么最后会输光？

事实上，你以为自己看到了50%的概率，把游戏看得透彻明白，殊不知，你看到了概率，却没有看到背后的陷阱，一脚踏进了一个叫做“赌徒谬论”的坑里。

你觉得游戏是公平的，一正一反，均为50%概率，按照大数定律来说，这是必然规律。然而，你有没有想过，正是这种你以为的“公平”，让你误解了大数定律，才陷入了“赌徒谬论”里呢？

先来看看这种让你觉得“公平”的大数定律究竟是什么。

它是数学家雅各布·伯努利提出的：

假设n是N次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每一次试验中A发生的概率，那么，当N趋于无穷时，有

赌徒迷信的是运气，赌场相信的是数学。

引

2021年，又到年终，再提示一下：别去赌，你不是赌王。

赌王何鸿燊接手葡京赌场时，生意蒸蒸日上，但理性的赌王仍然忐忑，请教“赌圣”叶汉：

“如果这些赌客总是输，长此以往，他们不来了怎么办？”

叶汉笑道：

“一次赌徒，一世赌徒，他们担心的是赌场不在怎么办。”

叶汉说的只是心理层面，现代赌场程序方面的设计比叶汉当年要缜密得多，赌场集中了概率学、统计学的数学知识。一个普通赌徒，只要长久赌下去，最终一定会血本无归。所谓的各种致胜绝技，除了《赌圣》电影里的周星星，现实世界里的周星驰都不信。

一个痴迷于发财梦的赌徒永远不明白，与自己对赌的不是运气，也不是庄家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、纳什、凯利这样的数学大师，赢的概率能有多大？

01

看得到的是概率

看不见的是陷阱

先说一个最简单的赌博游戏：抛硬币。

规则是这样的，正面赢反面输，如果你赢了可以拿走和本金一样多的奖金，如果输了则会赔掉本金。

你一听可能觉得这游戏还不错，公平！

于是你拿出了身上的100元来玩这个游戏，每次下注5元，这样你至少有20次的下注机会。

不过，你运气不太好，第一把就是反面，输了5块钱。

生性乐观的你觉得没什么，反正不管怎么说，赢面都有50%，下一把就可以赢回来。

结果，很快你就把身上的钱都输光了。

你百思不得其解，明明是公平的50%赢面，在50%概率下至少不会亏本的，可为什么最后会输光？

事实上，你以为自己看到了50%的概率，把游戏看得透彻明白，殊不知，你看到了概率，却没有看到背后的陷阱，一脚踏进了一个叫做“赌徒谬论”的坑里。

你觉得游戏是公平的，一正一反，均为50%概率，按照大数定律来说，这是必然规律。然而，你有没有想过，正是这种你以为的“公平”，让你误解了大数定律，才陷入了“赌徒谬论”里呢？

先来看看这种让你觉得“公平”的大数定律究竟是什么。

它是数学家雅各布·伯努利提出的：

假设n是N次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每一次试验中A发生的概率，那么，当N趋于无穷时，有

掷硬币频率分布图

赌徒破产定理模拟图-1

把不同r对应的f(r,n)和f(r,s,p)放到同一个图中进行比较，它形象地揭示了赌徒输光定理的含义：所谓的“公平”赌博，其实并不公平。

在f(r,n)中，随着次数n的增加，赌徒输光的概率会逐渐增加并趋近于1，并且r越小，这种趋势越明显。这说明在公平赌博的情况下，拥有筹码更少的赌徒会更容易破产。

而在f(r,s,p)中，图-2则冷峻而无情的话语告诉我们：

如果希望输光的概率比较小，那么需要每次的赢面p足够大或者是手里的筹码r足够多。

可面前有一位存在感极强的庄家，你真能从他虎口夺食、在赢面和筹码中赌一把吗？

答案，显然是难乎其难的。

第一，没有一个赌场会让你的赢面超过50%。

想要每一次的赢面足够大，除非庄家为你作弊，不随机，故意让你赢。

第二，庄家不是赌徒。

庄家的背后是赌场，也就意味着庄家相比于你，拥有“无限财富”。

你的小金库永远比不过庄家的赌场钱庄，这也意味着，你比庄家更容易山穷水尽。

当然，也许你可以一掷千金，但赌场却设置了最大投注额，这并不是他们好心，想保护你免遭破产，他们只是为了自保才设计了一道安全屏障，来抵抗“无限财富”带来的破产威胁。毕竟万一哪天比尔盖茨去赌场找乐子，一次性砸个几百亿进去，万一赢了，那赌场老板恐怕真的要哭了。

第三，庄家是“抽水”收入。

忘了抛币游戏中那毫不起眼的2%了吗？赌徒赢钱后，庄家会从赌徒手中抽取一定比例的流水佣金。

这样一来，即使你有一个小金库足以和庄家慢慢磨，打一场持久战，但赢得越多，为庄家送去的“抽水”越多。长此以往，你还是输了，钱都进了庄家的口袋。

最终，庄家赚的钱只跟赌徒下注大小有关。

这世上，天才终究是少数，而“赌神”、“赌王”之所以成为普通赌徒难以望其项背的存在，不仅因为他们深谙赌徒心理，也不仅因为他们懂赌场规则，更因为他们懂得该下注多少。

03

凯利公式

先告诉你怎么下注

在赌场老板的眼里，世界上或许只有两种人：一种现在是穷鬼，一种未来是穷鬼。

不过赌场老板也会有所忌惮，特别是遇到善用数学博弈的高手时。

凯利公式在高级赌徒的世界里大名鼎鼎，是顶级高手常用的数学利器。那什么是凯利公式？我们先看一个例子。

一个1赔2（不包括本金）的简单赌局，扔硬币下注，假设赌注为1元，硬币如果为正面则净赢2元，如果为反面则输掉1元。现在你的总资产为100元，每一次的押注都可投入任意金额。

你会怎么赌呢？已知掷硬币后正反面的概率都为50%，赔率是1赔2（不包括本金），那么这个赌局你只要不断地下注，再抛开不公平因素的干扰，几乎就能赚。

因为掷硬币次数越多，其正反面出现概率就越会稳定在50%，收益2倍，损失却只是1倍，从数学上讲那是稳赚不赔的赌局。

但实际情况却可能会有偏差。

如果你是冒险主义者，你可能会想，要玩就玩大的，一次性把100元全押上，幸运的话，一次正面就可以获得200元，又是一段值得炫耀的赌史。可是，如果输了，得把100元资产拱手献给对方，你就一无所有。好不容易来趟拉斯维加斯，这肯定不是明策。

如果你是保守主义者，你可能会想，谨慎一些，慢慢来。你每次只下注1元，正面赢2元，反面输1元。玩了20把突然觉得，对方下注10元一次就赢得20元，自己一次才赢2元、10次才能赢得20元，感觉自己已经错过几个亿而开始后悔！

那到底该以多少比例下注才能获得最大收益呢？普通赌徒一般一脸茫然，但凯利公式却能够告诉我们答案：

每次下注比例为当时总资金的25%，这样就能获得最大收益。

让我们来看看凯利公式的庐山真面目：

式中，各参数意义为：

f为应投注的资本比例；

p为获胜的概率（抛到硬币正面的概率）；

q为失败的概率，即（抛到硬币反面的概率）；

b为赔率，等于期望盈利÷可能亏损（盈亏比）；

公式上面的分子(bp-q)代表“赢面”，数学中叫“期望值”。

什么才是不多不少的赌注呢？凯利告诉我们要通过选择最佳投注比例，才能长期获得最高盈利。

回到前面提到的例子中，硬币抛出正、反面的概率都是50%，所以p、q（获胜、失败的概率）都为0.5，而赔率＝期望盈利÷可能亏损=2元÷1元，赔率就是2，也就是说这个赌局次数越多，我们收益就越高。

那么如何利用手中的资金来获得最高收益呢，我们要求的答案是f，也就是

把不同r对应的f(r,n)和f(r,s,p)放到同一个图中进行比较，它形象地揭示了赌徒输光定理的含义：所谓的“公平”赌博，其实并不公平。

在f(r,n)中，随着次数n的增加，赌徒输光的概率会逐渐增加并趋近于1，并且r越小，这种趋势越明显。这说明在公平赌博的情况下，拥有筹码更少的赌徒会更容易破产。

而在f(r,s,p)中，图-2则冷峻而无情的话语告诉我们：

如果希望输光的概率比较小，那么需要每次的赢面p足够大或者是手里的筹码r足够多。

可面前有一位存在感极强的庄家，你真能从他虎口夺食、在赢面和筹码中赌一把吗？

答案，显然是难乎其难的。

第一，没有一个赌场会让你的赢面超过50%。

想要每一次的赢面足够大，除非庄家为你作弊，不随机，故意让你赢。

第二，庄家不是赌徒。

庄家的背后是赌场，也就意味着庄家相比于你，拥有“无限财富”。

你的小金库永远比不过庄家的赌场钱庄，这也意味着，你比庄家更容易山穷水尽。

当然，也许你可以一掷千金，但赌场却设置了最大投注额，这并不是他们好心，想保护你免遭破产，他们只是为了自保才设计了一道安全屏障，来抵抗“无限财富”带来的破产威胁。毕竟万一哪天比尔盖茨去赌场找乐子，一次性砸个几百亿进去，万一赢了，那赌场老板恐怕真的要哭了。

第三，庄家是“抽水”收入。

忘了抛币游戏中那毫不起眼的2%了吗？赌徒赢钱后，庄家会从赌徒手中抽取一定比例的流水佣金。

这样一来，即使你有一个小金库足以和庄家慢慢磨，打一场持久战，但赢得越多，为庄家送去的“抽水”越多。长此以往，你还是输了，钱都进了庄家的口袋。

最终，庄家赚的钱只跟赌徒下注大小有关。

这世上，天才终究是少数，而“赌神”、“赌王”之所以成为普通赌徒难以望其项背的存在，不仅因为他们深谙赌徒心理，也不仅因为他们懂赌场规则，更因为他们懂得该下注多少。

03

凯利公式

先告诉你怎么下注

在赌场老板的眼里，世界上或许只有两种人：一种现在是穷鬼，一种未来是穷鬼。

不过赌场老板也会有所忌惮，特别是遇到善用数学博弈的高手时。

凯利公式在高级赌徒的世界里大名鼎鼎，是顶级高手常用的数学利器。那什么是凯利公式？我们先看一个例子。

一个1赔2（不包括本金）的简单赌局，扔硬币下注，假设赌注为1元，硬币如果为正面则净赢2元，如果为反面则输掉1元。现在你的总资产为100元，每一次的押注都可投入任意金额。

你会怎么赌呢？已知掷硬币后正反面的概率都为50%，赔率是1赔2（不包括本金），那么这个赌局你只要不断地下注，再抛开不公平因素的干扰，几乎就能赚。

因为掷硬币次数越多，其正反面出现概率就越会稳定在50%，收益2倍，损失却只是1倍，从数学上讲那是稳赚不赔的赌局。

但实际情况却可能会有偏差。

如果你是冒险主义者，你可能会想，要玩就玩大的，一次性把100元全押上，幸运的话，一次正面就可以获得200元，又是一段值得炫耀的赌史。可是，如果输了，得把100元资产拱手献给对方，你就一无所有。好不容易来趟拉斯维加斯，这肯定不是明策。

如果你是保守主义者，你可能会想，谨慎一些，慢慢来。你每次只下注1元，正面赢2元，反面输1元。玩了20把突然觉得，对方下注10元一次就赢得20元，自己一次才赢2元、10次才能赢得20元，感觉自己已经错过几个亿而开始后悔！

那到底该以多少比例下注才能获得最大收益呢？普通赌徒一般一脸茫然，但凯利公式却能够告诉我们答案：

每次下注比例为当时总资金的25%，这样就能获得最大收益。

让我们来看看凯利公式的庐山真面目：

式中，各参数意义为：

f为应投注的资本比例；

p为获胜的概率（抛到硬币正面的概率）；

q为失败的概率，即（抛到硬币反面的概率）；

b为赔率，等于期望盈利÷可能亏损（盈亏比）；

公式上面的分子(bp-q)代表“赢面”，数学中叫“期望值”。

什么才是不多不少的赌注呢？凯利告诉我们要通过选择最佳投注比例，才能长期获得最高盈利。

回到前面提到的例子中，硬币抛出正、反面的概率都是50%，所以p、q（获胜、失败的概率）都为0.5，而赔率＝期望盈利÷可能亏损=2元÷1元，赔率就是2，也就是说这个赌局次数越多，我们收益就越高。

那么如何利用手中的资金来获得最高收益呢，我们要求的答案是f，也就是