来源：量化投资与机器学习
量化投资与机器学习公众号 独家解读
量化投资与机器学公众号 QIML Insight——深度研读系列 是公众号全力打造的一档深度、前沿、高水准栏目。
公众号遴选了各大期刊前沿论文，按照理解和提炼的方式为读者呈现每篇论文最精华的部分。QIML希望大家能够读到可以成长的量化文章，愿与你共同进步！
本期遴选论文来源：The Journal of Financial Data Science Spring 2024标题：Hierarchical Risk Budgeting作者：Gilles Boevi Koumou
核心结论
1、分层风险预算（Hierarchical Risk Budgeting, HRB）方法具有可视化、灵活性和稳健性等特性，类似于分层风险平价（Hierarchical Risk Parity, HRP）方法。
2、利用HRB的灵活性和稳健性，HRB可以扩展纳入资产的预期收益，而无需额外的约束来控制估计误差。
3、在实证方面，特别是在考虑资产的预期收益时，HRB是一个有希望替代经典HRP的方案。
风险预算（RB）
在资产配置的相关方法中，我们大家最熟悉的其中有一个方法叫做风险平价（Risk Parity），此方法就是站在风险角度进行资产配置。而风险预算（Risk Budgeting），其实与风险平价类似，都是从风险的角度进行资产配置，但是不同的是，RP是给每类资产分配同样的风险权重，而RB的目标是最大化单位风险的收益（maximize return per unit of risk），从而达到最优的风险预算（optimal risk budget）。
首先，我们引入Koumou(2023)提出的RB方法的核心概念和定义：
这段内容摘自一篇关于风险预算（Risk Budgeting, RB）方法的论文，主要介绍了由Koumou（2023）提出的RB方法的核心概念和定义：
1、用向量 表示一个多头（long-only）的个风险资产投资组合，其中 是资产 的权重。
2、 是一个凸风险度量，满足Euler分解，即 ，其中 是资产 的风险贡献。
3、资产 的风险贡献 定义为 ， 是资产 的比例风险贡献度：。
4、Koumou(2023)定义了一个指标 被定义为衡量投资组合风险贡献（或丰富度）多样性的指标：
是资产间的相似性矩阵（即：）， 是资产风险贡献的缩放向量。该指标的值域在[1, N]之间，其中N是资产的数量。
表示投资组合 在风险丰富性方面的多元化程度，取值范围在[1, N]。
值越高，表示投资组合在风险丰富性方面的多元化程度越高。
当 接近1时，意味着资产在风险方面更相似，或者风险贡献度 更集中。
相反，当它接近 时，资产在风险方面更不相似。
基于此，Koumou(2023)提出了一种基于 的RB方法，该方法旨在最大化投资组合的风险贡献多元化，定义如下：
是一组long-only投资组合。
该方法可以通过一个两步问题来重新构建：
A1第一步：预算选择
确定最优的预算分配 ，以最大化 。这一步的目标是找到一个预算分配，使得在给定的预算约束下，投资组合的风险贡献多元化达到最大。
A2第二步：RB
在确定了最优预算后，投资者需要根据这个预算来选择资产，构建出一个实际的投资组合。
其中 是第一步的解。
1、我们可以看相似性矩阵 是RB方法的核心，它反映了资产间的相似性。
2、Koumou(2023)提供了关于如何校准这个矩阵的方法，建议使用资产间的依赖度量，例如Pearson相关系数。
3、文中提出了使用层次聚类（hierarchical clustering）来校准相似性矩阵 ，并将由此产生的RB方法称为HRB（Hierarchical Risk Budgeting）。
HRB
基本定义
1、引入了一个异度矩阵 ，其中 表示资产 和资产 之间的不相似性。
2、使用 进行层次聚类，输出为资产集合的层次家族划分，称为树状图。
3、树状图通常以根树或等效的超度量（ultrametric matrix）异度矩阵进行表示，超度量异度矩阵 是通过过滤原始矩阵 得到的，其中 衡量算法将资产 和资产 合并到同一簇所需的最小努力。
下表提供了树状图与超度量异度矩阵之间关系的说明：
基于 ，我们定义一个相似性矩阵 ，其中：
是一个严格递减的实数函数
需要注意的是，因为 是一个超度量矩阵，根据Dellacherie, Martinez, and San Martin (2014)， 也是一个超度量矩阵，但要满足下面三个条件：
由于 是一个严格递减的实数函数，前两个条件自然满足，但最后一个条件并不总是满足的。
最后，我们使用相似性矩阵 定义了HRB：
核心特征
1、可视化
HRB方法继承了层次聚类的可视化特性，这可以通过树状图以及过滤后的矩阵 或 的可视化表示来展示。
2、灵活性
HRB方法的灵活性不仅源于其高度参数化的特性，还因为它是基于优化的方法，这使得它可以方便地引入额外的约束和目标。
3、稳健性
HRB方法的稳健性来自于超度量异度矩阵 及其相似性对应矩阵 的稳健性。特别是当 定义为 时，其中 代表资产 和 之间的皮尔逊相关系数时，这种稳健性尤为明显。
此外，HRB方法的稳健性还体现在，即使在 是超度量的情况下，它也能保持稳健性，这一点在附录中有证明。因此，与HRP类似，HRB方法具有以下优势：
能够构建一个具有ill-degenerated或奇异协方差矩阵的投资组合。
能够产生一个在权重和规模上良好分散化的投资组合，这种组合对于特定风险和共同风险具有稳健性，但不一定对系统性风险具有稳健性。
3、纳入预期收益
传统的RB方法没有考虑资产的预期收益。尽管准确预测预期收益存在挑战，但文献中仍有大量研究致力于将预期收益纳入RB中。具体详见：
See Meucci (2009)
Boudt, Carl, and Peterson (2012)
Roncalli (2015)
Haugh, Iyengar, and Song (2017)
Ardia, Boudt, and Nguyen (2018)
Costa and Kwon (2020)
Simonian and Martirosyan (2022)
再此不做介绍。
我们在后面的介绍中将引用Costa and Kwon (2020)的方法：
一个修改版的两步公式（公式A1和A2），具体定义如下：
步骤1
步骤2
在这个修改版中， 是公式步骤1的解， 是相似性（依赖风险）的回避系数， 是 的倒数。需要注意的是，当 趋于无穷大时，步骤1公式和步骤2公式与HRB基本重合。
这个修改版的公式有以下优点：
1、保持了RB的解释；
2、更直接易操作；
3、通过依赖过滤后的相似性矩阵 的稳健性，有效减少了估计预期收益时的错误，而不是引入额外的稳健结构。
文章的其余部分集中在解决步骤1公式和步骤2公式，也俗称它们为HRB。
HRB VS HRP
使用15只交易所交易基金（以下简称15ETF）2006年8月2日至2023年3月31日的每日收盘价计算相应的收益。
在样本内分析中，使用2006年8月2日至2023年3月31日这段时间作为评估窗口。样本外采用滚动窗口方法，窗口跨度为356天，每月更新一次。
评价指标有：Mean (RET)、Volatility (SD)、Maximum drawdown risk (MDD)、 Sharpe ratio (SR)、Calmar ratio (CR)、Turnover (TO)、Cumulative returns (CRET)、Herfindahl index (HI)
样本内
样本外
总结
基于Koumou（2023）的风险预算方法，本文提出了一种基于过滤相似性矩阵的HRB方法，该方法具有可视化、灵活性和稳健性等吸引人的特性。
利用其灵活性和稳健性，HRB可以扩展以纳入资产的预期收益，而无需额外的约束来控制估计误差。
实证表明，HRB是一个有希望替代经典HRP的方案，尤其是在考虑资产的预期收益时。
