（来源：华安证券研究）
本篇是“学海拾珠”系列第二百二十四篇，文献旨在探讨引入量化策略估算投资组合的方差-协方差矩阵的益处，期望能够有效捕捉资产收益的典型特征，并在时变波动率的环境下，对 150 只 ETF 进行优化与再平衡。主要比较了三种模型：（a）样本协方差或等权重模型，（b）指数加权移动平均（EWMA）模型，以及（c）广义自回归条件异方差（GARCH）（1,1）模型。使用 EWMA 和 GARCH（1,1）模型构建的投资组合具有更高的样本外回报。回到国内基金市场，文献对于ETF 组合的构建与再平衡过程具有较大的启发。
协方差矩阵建模
协方差矩阵包含波动率和相关性，即用于量化投资组合风险的指标。最简单的协方差矩阵是通过等权移动平均或指数加权移动平均（EWMA）生成。使用这些方法时，关于收益分布的两大假设固有存在：（a）收益是独立同分布（i.i.d.）的；（b）一组收益的联合分布是“椭圆”的。
Markowitz（1952）提出的多元正态独立同分布收益假设没有得到实证支持。因此，许多学者利用广义自回归条件异方差（GARCH）模型，在该模型中，期限结构波动率估计收敛于长期平均波动率；GARCH 参数得到最优预测，GARCH 协方差矩阵无偏差地表示多元收益分布的时变波动率和相关性。
实证结果
文献通过一个由 150 只 ETF 组成的、交易活跃的低波动率 ETF 基金（包含多国市场、多种资产），对这些模型进行了实证测试，以验证其有效性。结论表明，使用 EWMA 和 GARCH（1,1）模型构建的投资组合具有更高的样本外回报，GARCH（1,1）模型在绝大多数月份的表现均优于其他模型，在再平衡策略和买入并持有策略下均表现出最高的条件夏普比率。
文献结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。
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引言
典型的单期投资组合选择问题的传统表述最初是一个非线性双准则优化过程，旨在最大化预期收益并最小化风险（Markowitz, 1952）。基于经典讨论，风险被量化为投资组合回报的方差，从而产生了二次规划模型。该问题的帕累托最优解（即无法同时在两个目标上进一步改进的解决方案）的图形描绘，形成了所谓的有效前沿。计算整个有效前沿的算法（临界线算法）在Markowitz（1956）中得到了详细描述。显然，在有效前沿上选择最终投资组合是风险与收益之间的权衡过程，很大程度上取决于投资者的风险偏好。
尽管传统Markowitz模型具有吸引力和数学上的优雅性，但它也受到了多项质疑。波动率和相关性的计算就是其中之一（DeMiguel等，2009；Fabozzi等，2007），因为准确捕捉市场结构始终是至关重要的。此外，另一个大幅增加投资组合优化过程复杂性的因素是需要同时评估一系列复杂的现实投资约束（Xidonas和Mavrotas，2014）。这些约束可能包括投资组合中可包含证券的最大数量、特定的买入门槛、交易成本规模或特定规则。
文献的目的是研究引入量化策略来估计投资组合方差-协方差矩阵的益处，期望能够有效捕捉资产回报的典型事实及其经济影响，处理的是时变波动率环境下ETF投资组合的优化与再平衡过程。分析旨在基于经济计量建模和回报协方差计算来构建最优投资组合。此外，我们的目标还包括应用三种流行的量化框架得出关键的对比见解：（a）样本协方差或等权重模型，（b）指数加权移动平均（EWMA）模型，以及（c）广义自回归条件异方差（GARCH）（1,1）模型。这一尝试的有效性通过对一个积极交易的低波动动量ETF基金（由150个ETF组成的多元化投资组合）进行的实证测试程序得到了验证。此外，还共同评估了一系列非凸投资政策限制，如买入门槛和合规规范，将相应的投资组合选择过程建模为混合整数优化问题。所得出的定性和技术结论表明，使用EWMA和GARCH（1,1）经济计量模型构建的投资组合具有更高的样本外回报。
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问题的引入
协方差矩阵包含波动率和相关性，即用于量化投资组合风险的指标。最简单的协方差矩阵类型是通过等权重移动平均或指数加权移动平均（EWMA）矩阵生成的（Ledoit和Wolf，2003）。使用这些矩阵时，关于收益分布的两大假设固有存在：（a）收益是由独立同分布（i.i.d.）过程产生的；（b）一组收益的联合分布是“椭圆”的。
自20世纪90年代以来，等权重移动平均或历史方法在估计和预测波动率和相关性方面一直受到从业者的欢迎。但如前所述，这种方法存在许多缺点，包括以下几点：由于模型的基本假设是收益是独立同分布的，因此对所有未来时段的波动率和相关性预测简单地采用了当前的波动率估计。在极端市场波动之后，波动率和相关性的预测将呈现出该极端波动的所谓“鬼影特征”，这将严重导致波动率和相关性预测向上偏差（Alexander，2008）。这种偏差的程度以及这种偏差影响结果的时间取决于数据窗口的大小。历史模型可能对未来几年平均波动率或相关性的预测提供有用信息，但它无法准确预测短期情况。事实上，使用这种方法可能获得的唯一有用信息是长期平均波动率或相关性的可能范围。
20世纪90年代中期，JP Morgan（1996年）推出了RiskMetrics™数据和软件套件。他们选择的波动率和相关性预测方法有助于推广指数加权移动平均（EWMA）的使用。这种方法为非常短期的波动率和相关性预测（如下一天或一周）提供了有用的信息。然而，它对长期预测的作用有限。由于模型的基本假设是收益是独立同分布的，因此对所有未来时段的波动率和相关性预测简单地采用了当前的波动率估计。
Markowitz（1952）中提出的多元正态独立同分布收益假设没有得到实证支持。因此，许多投资组合经理利用广义自回归条件异方差（GARCH）模型，在该模型中，期限结构波动率估计收敛于长期平均波动率；此外，GARCH参数得到最优预测，GARCH协方差矩阵无偏差地表示多元收益分布的时变波动率和相关性。
显然，波动率聚集和对收益数据随时间的适当加权与资产配置和积极投资组合管理的概念密切相关（Brinson等，1991；Ibbotson和Kaplan，2000）。这两个问题都意味着对现有投资组合进行再平衡，目的是通过调整投资组合以适应当前市场条件来提高管理投资组合的表现。投资者确定所需的配置，然后通过定期再平衡来减少投资组合漂移和风险敞口的趋势。Arshanapalli等（2001）研究了资产配置对固定权重和各种其他投资组合（无论是否考虑交易成本）表现的影响。
在实践中，再平衡策略根据目标资产配置的表现来衡量风险和回报（Leland，1999）；管理投资组合的实际表现与目标资产配置的表现之间的偏差程度决定了触发再平衡事件，从而决定了基础投资组合重新设计的频率。
尽管可以采用多种触发因素，但在大多数情况下，重点是主要采用时间策略（Zilbering等，2015）。更具体地说，在使用时间策略时，无论投资组合的资产配置与目标配置的偏离程度是大是小，都会每天、每月、每季度或每年等进行再平衡。确定再平衡的频率在很大程度上取决于投资者的风险承受能力、投资组合中各资产的相关性以及再平衡所涉及的成本。但正如没有一种资产配置策略是普遍最优的，同样也没有一种再平衡策略是普遍最优的。再平衡投资组合的核心明显优势在于，它相较于从未进行过再平衡的投资组合，更能紧密贴合目标资产配置的特征。因此，基于合理监测的再平衡策略相对于目标资产配置而言，很可能提供足够的风险控制。
然而，如果适当的投资组合再平衡至关重要，那么同时实施有效的多元化策略也是一个非常关键的问题（Wallick等，2012）。在此基础上，交易所交易基金（ETF）这一产品类别显然引起了人们的关注，并在市场中拥有巨大的发展空间。
一般来说，ETF结合了共同基金的多元化优势和股票的交易灵活性。近年来，ETF覆盖几乎所有可以想象的市场板块、细分领域和交易策略，并能根据投资者的风险偏好量身定制的替代投资工具，越来越受到投资者的关注。截至2014年12月，美国本土的指数追踪型和主动管理型ETF总数达到1411只，而提供ETF作为投资产品的公司有52家。这些ETF的总净资产为1.974万亿美元，占长期共同基金、ETF、封闭式基金和单位投资信托管理的总净资产的13%。据估计，截至2014年中，美国约有520万户家庭（占4%）持有ETF。在拥有共同基金的家庭中，估计有9%的家庭也持有ETF。毕竟，投资者选择ETF还是传统共同基金，是一个投资组合实施决策，而不是投资策略的选择（Dickson等，2015）。
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理论模型
3.1 非凸投资组合优化
然而，政策特征往往会产生比原始均值-方差公式中更复杂的投资组合目标和约束条件。例如，资产管理者可能会受到投资组合在某个特定领域集中度的限制。
在均值-方差问题的实际案例中，最常见的政策约束可以是线性的或二次的。组合约束和整数约束也同样至关重要（Xidonas等人，2011）。通过这类约束，从业人员能够共同评估一系列非凸的投资政策限制，如买入门槛、交易金额、基数约束、合规准则和交易成本等；在这种情况下，相应的投资组合选择过程被建模为一个混合整数优化问题。
此外，目的可能是控制投资组合中允许的投资数量，或满足基于某些资产类别法律框架的政策限制，如共同基金中常见的5-10-40规则。其复杂性源于5-10-40约束是非凸的，从而破坏了任何初始的线性假设。在数学规划框架内融入5-10-40规则的一个非常有趣的尝试是由Xidonas和Mavrotas（2014b）提出的。
最后，典型的资产配置模型忽略了与投资组合再平衡过程相关的交易成本和其他费用（Adcock和Meade，1994）。一个可能的公式如下：
3.2 波动率建模
在介绍了我们在实证测试过程中所采用的优化建模框架之后，接下来我们将重点介绍用于计算方差-协方差矩阵的模型的主要特征。
3.2.1 样本协方差或等权模型
为不失一般性，假设平均收益为零，且收益是按日计算的。零平均收益是基于日时间序列进行风险估计的典型假设；然而，如果收益是在更长的时间间隔内测量的，这一假设可能就不太现实了。在采用零平均收益假设的情况下，收益方差的等权估计值是收益平方的平均值，而相应的波动率估计值则是这一年平均值的平方根（以百分比表示）。两个收益的协方差等权估计值是收益交叉乘积的平均值，而它们的相关系数等权估计值是协方差与两个方差乘积平方根的比值。Alexander（2008）对方差和波动率的置信区间以及方差、波动率和相关系数估计量的标准误差进行了详尽而完整的讨论，涉及等权估计值的准确性。
3.2.2 EWMA模型
作为传统移动平均模型的扩展，指数加权移动平均（EWMA）模型更加重视最近的数据。假设在日期t时，已经记录了截至时间t-1的数据。这些观测值的指数加权平均值是：
其中，λ是一个常数且0 < λ < 1，被称为平滑常数。由于当n趋向于无穷大时，λ^n趋向于0，因此指数加权平均值对非常旧的数据赋予的权重非常小。此外，由于：
上述公式可用于计算方差的EWMA估计值（此时x表示收益的平方），以及协方差的EWMA估计值（此时x表示两个收益的交叉乘积）（Alexander 2008）。
使用EWMA的一个缺点是，矩阵中的所有方差和协方差都使用相同的λ值。这一限制被利用是因为它保证了矩阵将是正半定的。但所有这些风险因素对市场冲击有相似反应是不合逻辑的。第二个缺点是，EWMA波动率估计值在某种意义上必须是常数，即对所有时间段都是相同的。无论预测是针对接下来的20天还是接下来的一年，EWMA模型都会估计出相同的平均波动率。
3.2.3 GARCH模型
Engle（1982）和Bollerslev（1986）提出的广义自回归条件异方差（GARCH）波动率模型旨在捕捉收益的波动聚集性。GARCH模型最典型的版本假设条件方差的行为由以下公式给出：
条件方差和波动率是以信息集为条件的，在没有市场冲击的情况下，GARCH方差最终将收敛到一个稳定状态值（Alexander 2008）。参数约束ω>0，α+β<1用于保证无条件方差是有限的且为正，而α,β>0是必需的，以确保条件方差为正。
GARCH参数的估计是通过最大化对数似然函数的值来实现的。在此基础上，我们可以使用时间变化的均值和方差；因此，最大化对称正态GARCH似然函数的问题就转化为最大化以下问题：
其中θ表示条件方差方程的参数。需要强调的是，在估计GARCH参数方面，大多数经济计量软件包中包含的Levenberg–Marquardt算法被认为是底层应用中最有效的替代方案之一（Alexander 2008；Brooks等，2003）。
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实证结果
分析重点在于，在时变波动率环境下，对用于估计投资组合方差-协方差矩阵的三种流行量化框架的实施进行比较。这一尝试的有效性通过在一个由150只ETF组成的、交易活跃的低波动率动量ETF基金中进行实证测试得到了验证。该基金的投资组合多元化程度高，涵盖范围广泛。
这些ETF工具来自不同的地理区域、重点领域、货币和基金目标。图表2展示了基础投资组合的构成，报告了ETF在资产类别重点和货币方面的分布情况。此外，图表3针对总基金中的一小部分样本，提供了每个ETF的详细信息和特殊特征。
这150只ETF是由经验丰富的投资组合管理委员会经过详尽分析后挑选出来的，他们充分利用了Bloomberg™专业数据平台提供的所有筛选工具。基金选择方法的标准既包括定性标准也包括定量标准（Maginn等，2007）。必须强调的是，所选工具中的绝大多数在已实现的历史波动率方面都属于低风险和极低风险证券。
更具体地说，选择和替换基金的一些标准包括：
1、基金在过去至少3年（最好是5年）的时间加权平均收益率和收益率波动率必须优于具有相同风格的被动管理指数的表现。这是主要的业绩标准。
2、在市场下跌期间，所选基金的历史损失必须少于基准损失，同时在市场上涨期间仍能捕捉到有意义的收益。特别关注上涨和下跌期间的收益捕捉情况。上涨捕捉（Upside capture）衡量的是在指数正收益月份，基金所捕获的市场收益部分。下跌捕捉（Downside capture）指的是在指数负收益月份，基金所捕获的市场收益部分。每只基金的上涨捕捉率或下跌捕捉率必须至少达到75%。
3、在一年内，基金单日涨跌幅超过±2%的天数必须少于基准的相应天数。
4、由于该ETF基金旨在利用所谓的低波动率异象，它必须具有以较低风险获得类似市场回报的历史记录。因此，在过去10次最严重的市场低迷时期，所选基金的损失必须少于基准损失。
5、基金的费用必须合理，最大允许净费率不得超过0.4%。
6、所选基金必须由银行、保险公司、投资管理公司或根据《1940年注册投资顾问法》定义的投资顾问进行管理，这些管理机构过去至少10年管理着大量资产，并在此期间一直展现出财务稳定性。
7、每只基金都必须有清晰阐述和解释的投资策略，并有证据表明该策略随时间得到了遵循。此外，所选基金必须提供业绩评估报告，以说明基金经理相对于基准的风险收益特征。
8、投资选项的组合应选择得能够让参与者实现投资多样化，并使他们的投资风险与其风险承受能力相匹配。
实证测试过程使用了从2001年7月5日至2013年6月28日的周收益率数据。观察到的样本被分为两个时期。第一个时期是估计期，从2001年7月5日至2012年6月7日，用于模型估计和最优投资组合构建。第二个时期是评估期，从2012年6月8日至2013年6月28日，用于样本外投资组合绩效评估。分析的时间框架涵盖了2008年危机之前的整个长期增长时期，以及大多数市场直至2012年中期的第一轮反弹。另一方面，样本外期间的波动为低波动率策略（如所考察的共同基金所采用的策略）提供了一个具有代表性的评估期。
必须提到的是，在投资组合优化过程中，由于基础ETF共同基金是低波动率动量策略投资组合，因此计算了最小方差投资组合。此外，还对每个ETF资产类别施加了以下上限权重：债券50%，股票35%，大宗商品5%，房地产5%，货币市场5%。此外，还应用了一些非凸性政策约束，如0.5%的买入阈值和5-10-40合规准则。所采用的建模方法在Xidonas和Mavrotas（2014a，b）中进行了详细描述。政策约束的逻辑在于我们正在构建一个UCITS投资组合，其中最小买入阈值对于最小化投资组合换手率很重要，而合规准则则是为确保最小分散化而规定的监管要求。
接下来简要讨论所分析基金收益序列的特征：（a）大多数基金的偏度为负，峰度较高（范围从3.93到33.4），表明收益分布存在肥尾现象（89只基金的峰度大于7）；（b）收益存在异方差性的强烈证据；收益的绝对值（76只基金）和平方值（79只基金）存在高度自相关；（c）序列的波动性随时间变化，即存在波动性聚集现象。
在图表4~图表6中，展示了针对所利用的技术，在所有样本外时期获得的再平衡收益。还报告了基础基准投资组合以及朴素投资组合的收益。
此时，需要强调的是，样本外时期实际上被分为四个不同的时期。第一个时期从开始到2012年9月初，呈上升趋势，随后是一个平稳时期（9月至10月），为2012年11月至2013年4月初的中期转折趋势奠定了基础。最后，样本的最后观察值是调整阶段。
实证测试程序发现以下结论：GARCH（1,1）模型似乎比EWMA和样本协方差模型，以及基准投资组合和朴素投资组合产生了更好的样本外收益。GARCH（1,1）模型还与更多元化的头寸相关联。此外，样本协方差模型和朴素投资组合收益表现最差；样本协方差模型还与最差的证券分散度相关。此外，在整个样本外时期内，样本协方差模型的总收益为5.84%；EWMA模型的总收益为6.41%；GARCH（1,1）模型的总收益为9.40%；基准投资组合的总收益为6.55%；朴素投资组合的总收益为1.48%。样本协方差、EWMA和GARCH（1,1）模型对应的买入并持有收益分别为5.72%、5.37%和8.73%。
在下跌趋势期间，GARCH（1,1）模型的收益率远高于其他两个模型。一个非常积极的迹象是，在样本外测试期间，GARCH（1,1）模型在绝大多数月份（仅有两个例外）的表现均优于其他模型，无论这些月份是收益为正还是为负。对于开放式UCITS（可转让证券集合投资计划）基金而言，这一特性至关重要，因为不同的单位持有人会根据自身需求在不同的时间段赎回份额，他们很少会等到期末。此外，即使整个量化过程仅使用一次，即在期初进行，以节省交易成本或时间，GARCH（1,1）模型相较于其他两个模型也能提供更为出色的买入并持有结果。这一结论同样适用于2012年6月至2013年5月之间的任何起始期间。
最后，通过条件夏普比率（CSR）测试了所得投资组合的风险调整绩效（即每单位风险的收益），该比率通过以下公式计算：
可以看出，根据条件夏普比率，GARCH（1,1）模型的表现优于其他两个竞争模型、基准投资组合以及简单策略投资组合。具体而言，GARCH（1,1）模型在再平衡策略（29%）和买入并持有策略（25%）下均表现出最高的条件夏普比率。而等权模型（EW）和简单策略投资组合的条件夏普比率最差，分别为12%和8%。此外，基准投资组合的条件夏普比率为23%，略高于指数加权移动平均（EWMA）模型。同时，等权模型和EWMA模型的买入并持有条件夏普比率分别为13%和18%。
最后，需要强调的是，无论是基于再平衡策略还是买入并持有策略，三个模型之间的条件夏普比率差异在5%的显著性水平下均具有统计学意义。
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结论
本文重点关注ETF基金的资产配置与再平衡、波动率建模以及定制化投资组合优化问题。更具体地说，在时变波动率环境下，ETF投资组合的再平衡优化过程。目的是，在估计投资组合方差-协方差矩阵时，对三种流行的计量经济技术进行应用比较，这些技术包括：（a）样本协方差或等权模型，（b）指数加权移动平均（EWMA）模型，以及（c）GARCH（1,1）模型。
通过对一个由150只ETF组成的、交易活跃的低波动动量ETF基金进行实证测试，验证了我们的尝试。此外，还评估了一系列重要的非凸性投资策略限制，如买入门槛和合规规范，并将相应的投资组合选择过程建模为混合整数优化问题。所获得的定性和技术结论表明，与EWMA框架相比，采用GARCH方法构建的投资组合具有更优的样本外收益和更高的分散度；同时，样本协方差模型的结果极差。
最后，关于本文所讨论问题的未来研究应侧重于动态资产配置扩展，如Brown和Smith（2011）以及Moallemi和Saglam（2017）所提出的方法论框架。此外，必须承认，本文的数据设置存在特定局限性，因为它仅依赖于单一的优化与测试运行。第一个问题与投资组合构建过程所采用的长期时间段有关，即使这一较长时间框架能更好地代表金融市场的各个阶段。此外，仅使用一年的数据进行测试，无疑会产生一定的偏差，并且很难确定结果和发现能否推广到其他时间段。
文献来源：
核心内容摘选自Panos Xidonas、Mike Tsionas、Constantin Zopounidis在Annals of Operations Research上的论文《On mutual funds-of-ETFs asset allocation with rebalancing:sample covariance versus EWMA and GARCH》。
文献结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。
本报告摘自华安证券2025年2月20日已发布的《【华安证券·金融工程】专题报告：ETF的资产配置与再平衡：样本协方差对比EWMA与GARCH模型》，具体分析内容请详见报告。若因对报告的摘编等产生歧义，应以报告发布当日的完整内容为准。
