来源：XYQUANT
导读
1、 作为西学东渐--海外文献推荐系列报告第七十篇，本文推荐了David Greenberg, Abhilash Babu和Andrew Ang于2016年发表的论文《Factors to Assets: Mapping Factor Exposures to Asset Allocations》。
2、通常的资产配置方法无法准确获取风险与收益的来源，于是近年来逐渐出现了基于因子的资产配置方法。本文提出了一种将因子暴露映射为资产组合的方法，以此来进行资产配置。
3、 本文使用了6个宏观经济因子（股权、实际利率、信用、通货膨胀、新兴市场和商品），首先根据标准线性因子模型，通过逐步回归获得了各个资产类别对宏观因子的暴露；然后利用带有约束条件的最优化算法，在给定目标因子暴露的情况下，以资产组合的因子暴露偏差与主动风险项之和最小为目标，得到最优的资产组合配置；相关投资约束条件可以包含对非流动性资产、最小交易量、纯多头、费用率等方面的限制，使得结果能更好地应用于实际投资。
4、 本文研究结果表明，根据本文基于因子的资产配置方法，得到的最优资产组合可以有效匹配目标因子暴露，这对进行资产配置的投资者具有较为重要的借鉴意义。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
1、引言
现代资产定价理论将资产的预期收益表示为一个或多个系统性风险因子的组合（Sharpe [1964]，Lintner [1965]和Ross [1976]）。然而资产配置的过程通常是直接确定各类资产而非驱动资产预期收益的因子的最优持有量。这种做法的部分原因是目前没有将因子映射到资产的标准化程序。实际上，金融模型通常是朝相反的方向构建的：将资产收益分解为多个系统性因子以及异质风险。
本文提出了一种将因子暴露映射为资产组合的方法。由于因子的数目通常比资产类别的数目少，所以这种映射不是唯一的。本文的贡献是将给定的一组因子暴露表示为一个特定的资产组合，这个资产组合具有与目标因子暴露大致相同的暴露水平，并且反映了现实世界中的投资者限制：例如杠杆、最小和最大资产类别的头寸、非流动性与流动性的比例、主动风险、换手率和其他限制因素。本文在这些约束条件下，找到了与期望的因子暴露距离最小的资产类别组合。实际上，正是因为增加了约束条件，才确定了唯一的资产组合。
与直接指定资产权重相比，利用因子进行资产配置有几个优势。首先，因子投资解释了投资组合的头寸以及风险和回报的关键驱动因素。在2008年和2009年期间，由于根据资产类别所构建的投资组合会掩盖潜在风险，因此许多投资者没有预计到亏损（参见Ang [2014]）。使用因子进行投资还为资产配置和管理人选择提供了更大的自由度。捐赠基金模型（Endowment Model）对公共股权（public equity）和私募股权（private equity）是区别对待的，但因子投资则认为成长因子是两者的重要驱动因素。将成长因子映射到这两种资产类别，可以使投资者对这两种资产进行一致的配置。在进行资产配置的过程中，通过将因子映射到资产，投资者可以通过主动承担某些因子的风险，来获得长期的风险溢价。
我们的方法与构建因子模拟投资组合的思路有关（例如Chen，Roll和Ross [1986]）。实际上，最有效的配置方式是直接投资于因子模拟投资组合。但是，在许多实际情况下，这是无法实现的：比如，有些因子不能被直接交易，如经济增长因子；比如会存在非流动性的资产（illiquid assets）和私人市场的资产（private-market assets）；比如有些情形下无法定期获得高质量的资产定价；比如投资者可能在某种资产类别上有选择管理人的比较优势，或者存在异质风险，使得某些资产类别并不直接是因子的函数。在现实世界中，通常没有唯一的资产类别占主导地位，投资方案在很大程度上取决于投资者的偏好。在这些情况下，我们的方法可用于在公共市场和私人市场中寻找合适的资产类别投资组合，以更好地表示一组目标因子暴露。
本文的方法与Asl和Etula [2012]的方法最为相关，他们将风险因子映射为宏观经济因子，然后解决均值-方差稳健性最优化问题。但是，他们只考虑投资者回报和风险的假设，而不考虑更广泛的投资者约束条件。本文的出发点是，投资者已经预先确定了最优的目标因子配置，我们着重研究在给定实际约束的情况下，如何通过资产配置来实现该目标因子配置。一些资产管理者采取特别的方法来构建跨越不同宏观因子的最优资产组合，尤其是在风险平价策略中。这些方法没有使用Ross [1976]多因子模型。我们采用资产类别的标准化多因子表示方法，但是方法的运作是从因子到最优资产组合，这与通常的运作方向是反向的。
2、因子和资产类别
为了使方法更具体，我们使用宏观因子和广泛的资产类别进行研究，资产类别的数目超过了因子的数目，资产类别收益是宏观因子的线性函数。当然，我们的例子是说明性的，该方法可以推广到任何一组因子和资产类别。
2.1
宏观因子
本文使用的6个宏观经济因子是股权、实际利率、信用、通货膨胀、新兴市场和商品。这些因子本质上是全球性的，涵盖了所有资产类别的基本风险驱动因素。这些因子都较为直观，其中多个因子被机构投资者用来分析和构建投资组合。图表1详细介绍了宏观因子的基本描述。
图表2展示了宏观经济因子的历史累计收益。这些因子在经济周期的各个时期表现出了不同水平的波动性和收益情况。从2014年开始，大宗商品和新兴市场均出现明显下滑。但是在2015年，通货膨胀率和实际利率因子分别出现了稳定的回报。
2.2
投资范围
需要注意的是，这些因子模型最常见的应用包括基准测试（benchmarking，测量风险因子未解释的alpha或超额收益），风险管理或分析（测量因子负荷）或因子的选择（测量回归的拟合度）。我们使用因子模型从等式1的左侧转到右侧，来找到在资产类别持有量受到某些限制的条件下因子暴露的最佳表示形式。
3、将因子映射到资产
3.1
目标因子暴露
我们选择一组特定的目标暴露（如图表4所示），并将其称为因子基准（factor benchmark）。在此示例中，因子基准设置为BlackRock解决方案定义的全球资本市场投资组合的因子暴露。我们所选择的因子基准不一定最优，只是以此来举例；其实因子基准的选择因每个投资者而异。下面，本文将展示如何使用一系列风险等价（risk-equivalent）投资组合来表示因子基准，这些投资组合满足不同的可投资性约束。
3.2
目标函数
由于因子基准中有15种可投资资产，而只有六个因子，因此有无数的资产类别组合可以使得其因子暴露与因子基准暴露相等。我们的最优化程序添加了一组投资者约束条件，使我们能够在可行范围内紧密匹配因子基准暴露。
我们将确定最优资产权重的目标函数定义如下：使得平方因子暴露偏差与主动风险项的和最小，其中平方因子暴露偏差指的是相对于因子基准的因子暴露偏差的平方，主动风险项是惩罚系数λ乘以投资组合相对于因子基准的主动风险。
平方因子暴露偏差是二次优化问题的标准组成部分。较大的λ表示投资者对那些波动较大的因子暴露偏差（如对权益因子的暴露）给予较大的惩罚力度。这也有效地将非宏观经济因子（例如行业风险暴露）引起的波动降至最低。主动风险项可确保因子暴露不是由某些资产类别的极端头寸得到的。λ的值可以由投资者选择。对结合了因子暴露和主动风险偏差的目标函数的另一种解释是，它是目标因子协方差矩阵对单位矩阵的收缩估计量（例如，参见Ledoit和Wolf [2004]）。在这种情况下，一个稳健的估计量会降低换手率，因此是非常有利的。当目标因子配置小幅变化时，资产配置不会有大的变化。有关最优化框架的完整说明，请参见附录。
3.3
约束条件
约束条件的选择取决于投资者的偏好，本文使用以下约束。
🔹完全投资与纯多头限制
我们要求资产权重之和为100％。需要注意的是，投资范围中需要包含现金或无风险资产。除了完全投资组合结构（completion portfolio construct）外，我们对所有情况施加纯多头限制。纯多头限制的一个优势是，其等同于对协方差矩阵中的大元素应用缩减技术（shrinkage，参见Jagannathan和Ma [2002]）。
🔹最小交易量
我们将资产的最小交易量设置为2.5％，只有大于该值，才能纳入推荐的资产组合。这样可以防止对某种资产类别持有量过小。
🔹估计费用率
流动资产类别的费用比率可以来自公开交易对手方（counterparts）。对于非流动性的资产类别，我们假设费用比率为2.5％。
🔹资产类别约束
一些委托限制了分配给某些资产类别的规模。例如，基金经理可能不被允许配置过多的非流动资产类别。基于这样的考虑，我们对资产类别进行了约束。
🔹流动性
投资者通常会限制其投资组合中非流动性资产的总量。我们将资产分为五个流动性级别：
• 1级：现金、全球政府债券；
• 2级：美国固定收益证券、全球股票、商品；
• 3级：新兴市场资产、小市值股票、高收益债券、房地产投资信托（REITs）；
• 4级：对冲基金、房地产；
• 5级：私募股权、基础设施。
按流动性级别对权重施加约束，在概念上等同于限制交易成本。
🔹主动风险
投资者可以酌情考虑相对于外生基准的主动风险上限约束。
🔹换手率
在构建完全投资组合时，我们施加了换手率约束，并放宽了纯多头限制。换手率定义为每种资产类别权重绝对值总和的一半。
4、实证结果
我们考虑四个最优化问题：
1. 资产权重总和为100％的无约束最优化问题；
2. 流动性资产类别，不包括流动性为4级与5级的资产；
3. 成本较低的资产，限制了整个投资组合的平均费用率；
4. 完全投资组合（completion portfolio），即对已有投资组合改进之后得到最终组合。
在所有这些情况下，我们都在不同的资产配置集中获得了非常接近目标的因子配置。
4.1
方案1：无约束条件的最优化配置
在这种情景下，我们只使用一个限制条件：将资产权重之和限制为100％。图表5显示了因子配置和复制投资组合（replicating portfolio）。复制投资组合的因子配置与我们的目标暴露紧密匹配。但是，复制投资组合含有大量的小额持股，这在经济上是没有意义的。此外，对罗素2000指数和巴克莱美国高收益指数（Barclays U.S. High Yield Indices）也有负的配置，但这部分由私人市场资产（如私募股权和房地产）抵消掉了。正如现在所观察到的，使用约束可以消除这些不良的性质。
4.2
方案2：对非流动资产类别的有限配置
在这一方案中，我们增加了2.5％的最小交易量限制和纯多头限制，并且去除了对非流动资产类别的配置。添加这些限制可以得到更接近现实的投资组合配置。我们在图表6中展示了优化后的因子和资产配置。现在，每个资产类别中的每个头寸在经济上都是有意义的，并且没有空头头寸。值得注意的是，我们仅能够在流动性资产类别中紧密匹配目标因子配置。
4.3
方案3：平均费用率约束
在这种情景下，我们设置了2.5％的最小交易量限制和纯多头限制，并将投资组合平均费用率的上限设置为0.20％。结果表明，对具有高费用率的资产类别（例如另类资产）的配置受到了限制，最优化结果更偏向于具有低费用率的资产类别（例如标普500指数）。图表7的结果表明，最优化投资组合的因子暴露与因子基准暴露的偏差很小。结合前两种方案，我们可以得出，许多潜在的资产配置可以提供相似的因子暴露。最终，根据约束条件确定了唯一的最优资产类别投资组合，以表示给定的因子暴露。
4.4
方案4：构建完全投资组合
投资者可能已经拥有资产组合，但是希望构建一个完全投资组合（completion portfolio）来改变因子风险暴露。为了解决这种情况，可以对优化框架进行较小的更改，包括将完全投资组合的权重的总和限制为0％（对应于覆盖投资组合，overlay portfolio），以及管理交易成本。
假设一个投资者持有巴克莱美国总债券指数，其希望将指数因子暴露更改为图表4中的目标配置。在这样的情景下，调整最优化框架之后，我们获得了最优因子暴露和资产配置，结果展示在图表8中。完全投资组合成功地使投资组合暴露与目标因子暴露保持一致。
5、结论
本文提出了一种将因子暴露映射为资产组合的方法，并且考虑了现实世界中的投资者约束。本文的方法会在投资约束条件下找到一个最优资产组合，这个资产组合在因子暴露和主动偏差方面，与目标集的距离可以达到最小。可投资性限制包括对做空和杠杆、最小交易规模、总费用比率、资产类别的限制，以及对流动性资产、主动风险和换手率的限制。我们采用缩减技术（shrinkage）来确保最优化资产配置对目标因子暴露的微小变化具有稳健性。
我们的框架是通用的，可以处理任何线性或非线性约束。此处未检测的一组重要约束是“alpha”，即对于某些特定资产类别的资本市场约束，这些约束与通常的因子表示方法的约束有所不同。另一个重要问题是如何获得最优的因子暴露集；我们采用的是一组给定的目标因子暴露，选择了最佳资产类别组合来与目标因子暴露相匹配。我们将因子映射到资产类别的过程是最优因子配置过程的重要组成部分。
附录：最优化过程
我们将λ设置为0.99。这相当于将几乎所有的权重都放在最小化主动组合的波动上。通过实证分析，我们发现该值可最大程度地提高资产配置的准确率和稳健性。我们通过扰动目标因子暴露、量化投资组合换手率，并比较因子暴露不匹配的情况来校准参数。
为防止国内偏差，在计算主动方差或平方偏差时，我们不包括货币因子。此外，我们假设在确定最优资产配置后，货币风险被完全对冲。
图表9给出了每种情境下模拟因子组合的风险统计数据。
参考文献
[1] Ang, A. Asset Management: A Systematic Approach to Factor Based Investing. New York, NY: Oxford University Press, 2014.
[2] Asl, F., and E. Etula. “Advancing Strategic Asset Allocation in a Multi-Factor World.” The Journal of Portfolio Management, Vol. 39, No. 1 (2012), pp. 59-66.
[3] Chen, N., R. Roll, and S. Ross. “Economic Forces and the Stock Market.” Journal of Business, Vol. 59, No. 3 (1986), pp. 383-403.
[4] Jagannathan, R., and T. Ma. “Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps.” Journal of Finance, Vol. 58, No. 4 (2002), pp. 1651-1684.
[5] Ledoit, O., and M. Wolf. “A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices.” Journal of Multivariate Analysis, Vol. 88, No. 2 (2004), pp. 365-411.
[6] Lintner, J. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics, Vol. 47, No. 1 (1965), pp. 13-37.
[7] Ross, S. “The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing.” Journal of Economic Theory, Vol. 13, No. 3 (1976), pp. 341-360.
[8] Sharpe, W. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance, Vol. 19, No. 3 (1964), pp. 425-442.
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成， 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
