纯因子组合构建与应用——基于沪深300空间

所谓因子投资就是将因子敞口决策统一到组合构建过程的框架,选取能够获得溢价补偿的因子构建组合，常见的因子有规模、价值、低波动、动量、质量、流动性等。

纯因子组合以Stephen Ross于1976年提出的套利定价理论中的多因子模型为构建基础，以对特定目标因子具有单位暴露度，对其他因子的暴露度为0为特征。

一、纯因子组合理论基础

纯因子组合构建的理论基础来自1976年Stephen Ross提出的套利定价理论（APT），APT认为金融资产的预期收益可以由多个因子的线性组合表示，但对具体因子形式没有规定。

理解套利定价理论有两个角度：1、收益角度，该理论构建了股票收益产生过程的模型，将收益分为系统性收益与特异性收益，该多因子模型即为纯因子组合的模型基础；2、风险角度，将多因子模型两端取方差后是一种结构化的风险模型，组合风险分为系统风险与特异性风险两个部分。

具体来看，多因子模型一般形如（1）式所示，将n只股票的收益率分解为m个收益共同驱动因子的线性组合和未被共同因子解释的残差两个部分：

其中，ri为对无风险收益率的超额收益，fi为股票为因子收益，表示个股的共同部分；xij为股票i对因子j的暴露度，表示个股的差异部分；ui为残差部分，由股票i的自身特征决定。

上述多因子模型可简写为向量形式：

通常多因子模型的共同驱动因子分为三类：捕捉外部影响的宏观因子、横截面可比因子及统计因子。其中，横截面可比因子因数据质量相对较高、收益驱动逻辑清晰且有大量学术支持，是多因子模型最常采用的因子。

在多因子模型中，常规的因子组合除了在目标因子暴露较高之外，在其他因子方面也会存在较高的暴露。如价值因子，在质量和低波动方面都有暴露，这种情况会影响分析和判断，同时对于构建的目标敞口组合也会产生干扰。而纯因子组合则能解决上述问题，通过最大化目标因子的暴露，同时限定其他因子的暴露程度，实现科学的组合分析、构建和风险管理。

二、纯因子组合构建

对于给定n只股票构成的空间，纯因子组合权重可在多因子回归模型求解的过程中得到，存在解析解。

线性模型r=Xf+u使用加权最小二乘法的解析解为式（4），其中W为回归权重。加权最小二乘回归中使用的标准权重值是残差收益率的方差倒数，从而减小回归因子收益f的估计误差。

但由于残差收益率未知，在实际中可以使用市值的平方根作为替代。这种做法的前提假设是残差收益率率的方差与总市值的平方根成反比，该假设来自于对市场的经验性观察与学术研究。

这种基于多因子模型的最小二乘法解纯因子组合具有一些不足。比如，解出的纯因子组合为多空组合，多空组合在实践中可操作性极差，像低流动性、高换手等问题无法避免。而且对纯因子组合加以个性化的优化目标或限制条件复杂程度不断提升，如组合波动率最小、残差波动率最小、个股权重和为1、不能做空等等，解析解的求解较为复杂，在实践中灵活性较低。

为了解决这个问题，下文给出一个基于最优化求解纯因子组合的方法，一方面针对各种限制条件与优化目标具有很好的灵活性，另一方面可以证明在特定条件与参数下，优化解与解析解等价。

三、基于最优化构建纯因子组合

对于给定的股票空间，基于最优化方法解纯因子组合的问题，其基本形式可以表述为：以目标因子暴露最大化、组合风险最小化为目标函数，以其他因子零暴露为限制条件的二次规划问题，形式如下：

其中，h为因子j的纯因子组合的权重向量，Xj为股票在因子j上的暴露向量，Xnj为股票在除因子j以外的因子的暴露矩阵，V为股票组合的协方差矩阵。

在引入拉格朗日乘子后，上述最优化问题的最优解（即因子j的纯因子组合权重向量）可以有如下解析解形式：

当（7）中的V替换为（4）回归权重W，并将

基于常规的多因子模型，将共同因子分为截面上的行业因子与风格因子两类，具体形式为：

对于任意因子求解其纯因子组合为如下两步：第一构建因子暴露向量（矩阵），第二建立最优化问题求解。

将Xnj对Xj做如下线性回归： 

其中，回归残差

将回归残差

对于因子j的纯因子，构建如下简单形式的最优化问题： 

其中符号含义同上，该优化问题旨在解出在因子j暴露为1，在其他因子暴露为0，并且最小化特异性风险的因子j的纯因子组合。

后续可以基于上述模型，增加限制条件或改变目标函数构建相应的最优化问题，如不能做空、控制换手率、最小化组合波动率等。

四、纯因子组合的应用场景

基于纯因子组合的优点，在投资领域，纯因子组合具有广泛的应用场景：（1）为投资者，尤其是机构投资者提供更加纯粹的因子投资工具，为FOF等多资产配置类指数提供风格收益特征稳定且纯粹的底层资产；（2）以纯因子组合为基础，可构建可投资的纯因子指数、因子倾向指数、因子增强指数、因子配置指数等，同时还可以管理组合的风险敞口；（3）可以作为因子收益的直接观测工具；（4）对组合收益进行归因分析。以2014-2017区间沪深300样本股作为研究空间，以式（12）-（13）作为求解纯因子组合的最优化问题，构建基于中证一级的10个行业纯因子与价值、成长、盈利、市值与波动5个风格因子共15个因子的纯因子组合。

2013.12-2018.2期间， 5个风格因子中价值与波动是持续的正向系统性收益驱动因子。需要说明的是，本文定义的风格因子敞口都是相对于给定空间（投资域）。投资域是全部A股，沪深300则相当于一个在规模因子上有较高正向暴露的组合，但如果投资域本身就是沪深300，在这个范围内研究时，沪深300相当于市场因子组合（基准），其他组合的风格因子暴露都是相对于沪深300的相对因子敞口。此处为便于研究，选取了沪深300指数为投资域，所有算法和结论并不影响，可直接推广到全市场空间。

根据CAPM、Fama-French等模型可知，市场因子是空间内所有股票的系统性收益驱动因子，且在其上的暴露皆为1。所以，如果以沪深300空间为投资域时，沪深300指数作为全空间的市值加权组合在各风格因子上的暴露皆为0；各风格因子因对各行业因子暴露为0，进而对于沪深300空间的市场因子暴露亦为0。因此，沪深300指数可以理解为沪深300空间中的市场因子组合，与其他风格因子一起构成系统性收益驱动因子。

（二）更加纯粹的的单因子指数

通常，传统单因子指数采用的选股方式是对相应空间内的股票根据因子相关指标的大小进行排序，选取排名靠前（或靠后）的一定比例或一定数目的股票。这种方式具有相对较高的可投资性，但因子的纯粹性存在一定瑕疵。

这种在其他因子的暴露使得对因子作用的评估产生误差：如果包含相关性较高且作用方向相同的多个因子，会高估该因子的作用；反之，则会低估。对于特定的市场结构，这种方式可能会导致在特定行业的高暴露。

作为基准工具，纯因子指数可以更加纯粹地检验出该因子收益的大小与方向、因子之间的相关性等，为多因子组合、因子配置提供更为准确的参考；同时，在兼顾投资性的同时牺牲部分暴露纯度，通过优化求解定量控制。而对于特定行业的集中问题，通过对行业暴露进行限制，可避免过于集中于某行业。

构建具有投资性，且在其他因子暴露上进行限制的纯因子组合，即为求解类似于如下形式的最优化问题：

其中，符号含义同式（12）-（13），式（15）为控制在非目标因子的暴露在0.01个标准差以内，个股权重大于0的限制条件。综上，使用纯因子与传统单因子指数在构建方法、因子暴露与因子收益三个方面的差异总结如下表所示。

（1）传统单因子指数的缺陷

传统单因子指数具有在其他因子上暴露不可控的问题，在沪深300空间，按照单因子指数常用方法构建5个单因子指数，并计算其2013.12-2017.12共历史9期的因子暴露。

从实际效果来看，各单因子指数在其他风格因子上均存在一定暴露，这种暴露不可控且在不同时期差异较大；更为关键的是，各单因子指数在部分行业（如金融地产）出现高度集中的现象。

以传统的价值单因子为例，一方面，在工业与金融地产行业上存在较高暴露，另外一方面，在盈利、波动等因子上的历史暴露跨度较大，存在较高暴露的时期。

（2）纯因子指数的改进完善

纯风格因子组合在其他风格因子和行业因子暴露均为零。可投资性的增加牺牲了因子暴露的纯度，但通过限制条件的设定使得在其他因子上的暴露可控。

为了让纯因子指数具有更加丰富的应用场景，在投资管理中承担更重要的作用。我们尝试构建可投资的纯因子指数。构建具有投资性（个股权重大于0），且在其他因子暴露上进行限制的纯因子组合，具体可转化为如下最优化问题：

式（15）表示在控制非目标因子的暴露在b个标准差以内，个股权重大于0的限制条件。在个股权重非负的限制条件确定后，对其他因子暴露控制的严格或松弛（即b取值）是影响投资性的唯一变量。接下来将对b（在非目标因子上的暴露）的不同取值与可投资性之间的关系进行研究。

（1）不同b值与因子暴露效果

以价值因子为例，在限制条件不断放宽的过程中，价值因子暴露是否符合基本要求，且其他因子暴露尽可能接近于0。

研究显示，价值纯因子组合在价值因子暴露始终保持在1以上，且在成长与盈利因子上的暴露在b的各种取值下都低于0.5，但当b取值大于0.11时，在市值与波动因子上的暴露开始高于0.5并随着b取值的增加而增加。因此，在为增加投资性而不断放松b值时，确保纯因子的暴露是否符合基本要求应当是重点考虑因素。

（2）不同b值与成分股数量

部分成分股权重过小（小于0.0002），且不论b取何值，权重均小于0.1%。因此，在研究投资性指数时将这部分成分股进行剔除，剩余成分股为有效成分股。研究表明，一方面，随着b取值的增加，有效成分股数目不断增加；另一方面，当b取值达到0.11时，有效成分股数目开始大于100（即沪深300价值指数的成分股数目）。

（3）不同b值与周转率

在b取值从0.01至0.31的过程中，历史周转率的均值缓慢上升，但总体均控制在15%-20%的区间内。当b取值在0.05-0.11时，组合周转率的变化较为稳定，历史最大周转率与最小周转率的差小于10%。

（4）不同b值与投资容量

在b取值从0.01至0.05的过程中，投资容量不断增加，但随着b值的增加投资容量不断下降，且在b取值0.17后趋于稳定。投资容量的这种变化可以解释为随着b的变化，有效成分股数目不断增加，同时一些自由流通市值较低的股票被不断纳入所导致。

综上，在可投资纯因子指数研究中，随着对其他因子暴露程度容忍度的提升，组合的投资性并不是随之简单线性增加。在b值不断增加的过程中，周转率始终维持在一定的区间范围，但在b的特定取值区间内，存在周转率最优的组合；存在投资容量最大的b值区间，当超过一定b值后，随着成分股数目的增多，一些低投资性股票的纳入反而降低了组合的投资容量。此外，在考虑投资性之前，应该对因子暴露进行检验，以保障单因子指数确实在对应因子高暴露，在其他因子尽可能接近于0的暴露。

从实际效果来看，可投资的纯因子既保留了目标因子敞口暴露，获取了特定的风险调整收益，同时在可投资性方面也有了较大的改善。

在设定个股权重大于0的投资限制后，各风格因子与市场的相关度、收益的波动率都明显增加。但由于其他因子暴露上有所限制，风格因子在对应因子上的暴露得以保证，在其他因子上的暴露得以控制。

研究发现，价值因子与波动因子的收益风险特征具有优势，2013年以来年化收益率分别为6.76%与6.32%，明显高于其他纯因子组合，收益风险比分别为1.12与1.28。因此，考虑在原沪深300指数上分别增加0.5个单位的价值暴露与波动因子暴露，通过增加收益驱动因子的暴露以达到提高收益的目的。

由于价值与波动纯因子组合只在价值与波动因子上暴露为1，在其他因子上暴露为0，因此在当下含有10个行业因子与5个风格因子的模型下，一方面，系统性收益的变化来自于定量增加的因子暴露，另一方面，除加入因子外，系统性风险不会增加。

增加在价值与波动，这两个正向的系统性收益驱动因子上的暴露后，组合在收益上有所提升，且由于组合分散度的提高，组合的整体波动率甚至略有下降，收益风险比从0.54提高到0.82。

为计算方便，入选股票数目改为全部的300只构建价值单因子指数（简称价值300），发现在盈利与波动上的暴露相对较高，历史平均暴露分别在正负0.2个单位左右。

使用纯因子指数对价值指数分别进行正负0.2个单位的波动因子与盈利因子对冲，使得价值指数在其他四个风格因子上暴露更低。而且使用纯因子对冲，并不改变原指数在行业和市场因子上的暴露。

此外，各纯因子组合的历史收益，对冲后由于增加了具有优势的波动因子，降低了劣势盈利因子暴露，整体上对价值300指数起到了正向的作用。

因子配置是将资产空间降维到因子空间。因子是收益的驱动也是风险的解释，而因子配置的优势在于投资对象为收益风险特征明确的因子资产，实现灵活的收益目标与更为准确的风险控制。纯因子组合由于风险暴露明确，收益驱动纯粹，是因子配置最适宜的基础单元。

基于5个纯因子组合与沪深300作为因子配置的基础单元，即为将股票市场降维到上述6大类风险收益特征明确的资产，通过等权、风险平价、最大夏普比率与最小方差四种配置方式验证。

从收益风险特征来看，由于各风格纯因子的波动率均小于市场因子且相互之间收益相关性低，各配置方案的波动率明显降低，收益稳定性增加，组合的收益风险比显著提高。同时，各风格纯因子与市场因子正交，更多收益风险优势明确的因子的挖掘可以不增加市场风险（最大的系统风险），而使因子配置的效果进一步提升。

由于各纯因子在其他风格因子与市场因子的暴露为0，各种配置的风险与收益来源可以由各纯因子的权重直观观测，风险贡献则通过计算亦可以得到。

如果使用可投资纯因子指数，因子配置后在收益与波动两方面都相比沪深300均有所优化。

从组合收益和风险贡献来看，因子配置中各因子对组合的贡献程度具有一定差异。在不同配置目标下，组合中各因子的影响也不同。有意思的是，收益贡献最高的因子，其风险贡献并不一定最高。

主动投资的目的在于获得alpha收益，多因子模型将组合的收益分为共同因子驱动部分与特异性部分，后者即为alpha收益。因此通过纯因子组合可以简单直接地分离主动组合中的共同驱动部分，剩余部分即为主动组合真正的alpha。为说明纯因子在分析alpha收益中的应用，构建一个主动投资组合（下文简称其为主动50），具体方法如下表所示。

主动50在历史各期对10个行业因子与5个风格因子暴露的统计如下表所示，在行业上，对金融地产与工业两个行业有较高的暴露；在风格上，在盈利有较高的暴露，在市值因子上有较低的暴露。因此，主动50的收益受到收益共同驱动因子的作用，反之从风险角度，亦暴露于系统风险。

而根据历史各期的因子暴露与对应纯因子收益计算发现，系统收益驱动因子对主动50的收益解释度较低，在历史收益为正的时期，平均可以解释41.2%的主动收益，因此可认为在当下15个行业与风格因子的多因子模型下，主动50的收益主要来自与选股的能力。

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